PDF-версии: 
В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S, все рёбра которой равны 4,
а) Докажите, что прямая NP перпендикулярна прямой BS.
б) Найдите расстояние от точки B до прямой NP.
Решение. а) Точка O принадлежит отрезку BN, значит, 
Опустим перпендикуляр из 
Значит, 
Следовательно, треугольники
б) Так как BS перпендикулярно NK, то искомое расстояние равно длине отрезка BK. NK является медианой треугольника SNB, поэтому 
Ответ: 2.
Приведем решение а) Ивана Иванова из Владивостока.
Данная треугольная пирамида правильная, поэтому точки B, S, N, O и P лежат в одной плоскости. Значит, прямая PN пересекает ребро BS в некоторой 
Поскольку BN : NO = 3 (по теореме о точке пересечения медиан), а 
(по условию), заключаем, что 
то есть 
Значит, отрезок NK — медиана треугольника BNS. Этот треугольник является равнобедренным, поскольку BN = SN как соответственные медианы равных треугольников. Следовательно, отрезок NK является также и высотой треугольника BNS. Точки N, P и K лежат на одной прямой, а потому прямая NP перпендикулярна прямой BS.
Приведем еще одно решение пункта а).
Пусть a — длина ребра пирамиды. Тогда
Точка O принадлежит отрезку BN, значит, точка P, лежащая на отрезке SO, находится в плоскости SBN. Поэтому прямая NP также лежит в плоскости SBN и пересекает прямую SB в точке K. Из треугольника NOP получим 
Из треугольника SOB получим 
Тогда в треугольнике KNB
следовательно, 
Тогда угол NKB равен 90°, то есть прямые
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Длины боковых рёбер пирамиды SA = 5, SB = 13, SD = 10.
и 
поэтому стороны SA и AB, SA и AD перпендикулярны, значит, ребро SA перпендикулярно плоскости основания пирамиды.
поэтому он прямоугольный, то есть прямая SD перпендикулярна прямой SB. Очевидно, что прямые SB и PQ параллельны как стороны равносторонних треугольников с общим углом, тогда прямая SD перпендикулярна прямой PQ. Прямая AC перпендикулярна прямой BD, и по теореме о трёх перпендикулярах прямая AC перпендикулярна прямой SD, а значит, и прямая QR перпендикулярна прямой SD. Таким образом, плоскость PQR перпендикулярна ребру SD.
Поскольку плоскость PQR перпендикулярна ребру SD, искомое расстояние равно DE.
CP = 1. Проведём PL, проведём LR || AC, 
Проведём RK. Трапеция LPKR — искомое сечение. Сечение параллельно АС по признаку параллельности прямой к плоскости. 
P(0; 5; 0), 
и 
получаем, что 
найдем уравнение плоскости и вычислим расстояние от точки до плоскости. 
подставив координаты точки К:
поэтому 
(ΔBKF ~ ΔBAT):
Тогда 
Тогда 
и 
следовательно, 
то 
Пусть основанием перпендикуляра опущенного из T на γ будет являться точка S. Тогда TS || BM || F''F'. Таким образом, треугольники FTS и FF''F' будут подобны. Следовательно, 
откуда 
На ребрах BC и C1D1 отмечены точки К и L соответственно, причём ВК = 4, C1L = 5. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки 
параллельна диагонали основания BD, поэтому пересекает основание ABCD по прямой KK1, параллельной BD, K1 лежит на CD. 
поэтому прямая сечения LL1 параллельна BD, где L1 лежит на B1C1. Сечением призмы будет трапеция 
как диагонали квадрата таким образом по теореме о трех перпендикулярах 
следовательно, 
Значит, 
Таким образом, 
следовательно, треугольник 
прямоугольный, 
Таким образом, 
в плоскости AA1C1C опустим перпендикуляр MH на прямую EF. Так как по доказанному в п. а) 
плоскость 
следовательно, указанный перпендикуляр — искомое расстояние. Найдем 
Заметим, 
Таким образом, 
перпендикулярный плоскости 
Определим координаты точек, лежащих в этой плоскости: 
Подставим найденные координаты в уравнение плоскости 
получим:
не проходит через начало координат, поэтому можно положить D равным любому отличному от нуля числу. Пусть 
тогда 
Следовательно,
Следовательно, векторы 
и 
коллинеарные, а потому 
до плоскости 
определяется по формуле 
получаем:
следовательно, 
Значит, М — середина СС1.
Значит, 
В треугольнике RPM находим стороны: 
По теореме косинусов
уравнение плоскости APQ имеет вид 
Координаты точки М() с координатами
получим:
Таким образом,
Точка Q — середина ребра A1B1, а точка P делит ребро B1C1 в отношении 1 : 2, считая от вершины C1. Плоскость APQ пересекает ребро CC1 в точке M.
AB = AC = 5, 
AK — биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника ABC. По теореме Пифагора AK = 
то есть SH = 1, следовательно, из треугольника SAH по теореме Пифагора AH = 2. Тогда искомое расстояние равно 1.
и 
Приравнивая объемы, получаем 
Осталось найти площади треугольников ABC и SCB.
Таким образом, по доказанному в п. а), искомое расстояние равно 1.
Пусть прямая CE пересекает ребро AB в точке M. Треугольники BME и DCE подобны, поэтому 
откуда 
Тогда 
Треугольники ABS и AMF подобны, значит, 
Поэтому прямая SB параллельна плоскости CEF.
Тогда 
Пусть O — центр основания ABCD. Так как все боковые ребра пирамиды равны, SO — высота пирамиды. Имеем:
Прямая PE параллельна прямой BQ, следовательно, необходимо проверить, что 
то есть прямая BQ перпендикулярна прямой B1P.
Тогда точка Q — точка пересечения медиан треугольника ABM, так как делит его медиану MK в отношении 2 : 1, считая от вершины. Проекцией отрезка MK на плоскость ABC является отрезок CK. Точка О является точкой пересечения медиан треугольника ABC и делит отрезок CK в отношении 2 : 1, считая от вершины C, поэтому точка Q будет проектироваться в эту точку. Прямая OO1 и плоскость ABC перпендикулярны, следовательно, точка Q лежит на прямой OO1.
Вычислим:
С другой стороны, 
где ha и hl — высоты, проведенные из соответствующих вершин. Таким образом, ha является искомым расстоянием.
Вычислим площадь треугольника ABK: 
найдем 
Получаем: 
откуда 
